Exponentialgleichungen

Das ist der fünfte Beitrag aus der Reihe über Gleichungen:

Definition

Exponentialgleichung: Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte als Hochzahl erscheint, entweder $a^x$ oder $e^x$ , z.B. $e^{2x}-e^x=5$

Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

$e^x$ und Zahl

$e^{3x}=2 |ln$
$3x=ln(2) |:3$
$x_{1}=\frac{ln2}{3}$
$L=\{\frac{ln2}{3}\}$

Erklärung:

Du logarithmierst (ln) auf beiden Seiten. Dann „kürzen“ sich e und ln auf der linken Seite, da $ln(e)=1$ und auf der rechten Seite steht ln(Zahl).
Wenn du dann durch die Zahl vor dem x teilst, hast du deine Lösung.

Wichtig

Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur $e^x$ und eine Zahl.
lösbar durch Logarithmieren.
e und ln „kürzen“ sich weg, da $ln(e)=1$

ausklammern

$4e^{2x}-2e^{x}=0 | ausklammern$
$e^{x}\cdot(4e^{x}-2)=0$
$e^{x}=0 | ln$
$x=ln(0)$ nicht definiert!
$4e^{x}-2=0 |+2$
$4e^{x}=2 |:4$
$e^{x}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} |ln$
$x_{1}=ln(\frac{1}{2})$
$L=\{ln(\frac{1}{2})\}$

Erklärung:

Du klammerst $e^x$ aus und wendest dann den Satz vom Nullprodukt an, d.h. du teilst es auf und setzt beide Teile getrennt Null.
$e^x=0$ ergibt keine Lösung, da der $ln(0)$ nicht definiert ist.
Bei dem anderen Teil bringst du die Zahl, die ohne $e^x$ steht, mit plus oder minus auf die andere Seite und teilst dann durch die Zahl vor dem $e^x$ .
Du logarithmierst (ln) auf beiden Seiten. Dann „kürzen“ sich e und ln auf der linken Seite, da $ln(e)=1$ und auf der rechten Seite steht ln(Zahl).

Wichtig

Bei dieser Art von Gleichung ist in jedem Element etwas mit $e^x$ .
lösbar durch den Satz vom Nullprodukt
erst logarithmieren, wenn das $e^x$ alleine steht
$ln(0)$ ist nicht definiert

Substitution

$e^{2x}-2e^{x}-3=0$
Substitution: $e^x=u$
$u^2-2u-3=0$
$u_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt[2]{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}$
$u_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt[2]{4+12}}{2}$
$u_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt[2]{16}}{2}$
$u_{1}=3; u_{2}=-1$
Resubstitution:
$e^{x}=3 | ln$
$x=ln(3)$
$e^{x}=-1| ln$
$x=ln(-1)$ nicht definiert
$L=\{ln(3)\}$

Erklärung:

Du musst das $e^{2x}$ durch $u^2$ ersetzen (substituieren) und das $e^x$ durch $u$ .
Anwenden der Mitternachtsformel
Resubstitution: Hierfür setzt du die beiden Ergebnisse jeweils mit $e^x$ gleich und logarithmierst.

Wichtig

Es gibt $e^{2x}$ , $e^x$ und eine Zahl.
lösbar durch Substitution
negative Zahlen kann man nicht logarithmieren

Bitte auswendig lernen

$ln(e)=1$
$ln(1)=0$
$ln(0)=$ nicht definiert

Kennst du Exponentialgleichungen, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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Exponentialgleichungen

$e^x$ und Zahl

Wichtig

ausklammern

Wichtig

Substitution

Wichtig

Bitte auswendig lernen

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