Kurvendiskussion: Krümmungsverhalten

Dies ist der 5. Artikel zur Kurvendiskussion

Symmetrie
Nullstellen und Schnittstellen mit der y-Achse
Monotonie
Extrempunkte
Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Mit dem Krümmungsverhalten kannst du berechnen, ob eine Funktion rechts- oder linksgerümmt ist. Dies berechnest du mit der zweiten Ableitung f“(x).

Krümmungsverhalten

Bedingungen:

f“(x)=0

f“(x)>0 –> links gekrümmt

f“(x)<0 --> rechts gekrümmt

Beispiel

$f(x)=x^3$

Erste Ableitung bilden: $f'(x)=3x^2$

Zweite Ableitung bilden: $f''(x)=6x$

Zweite Ableitung muss Null gesetzt werden:

$f''(x)=0$

$6x=0 |:6$

$x=0$

Jetzt wollen wir wissen, ob die Funktion vor bzw. nach dem Punkt links oder rechts gekrümmt ist.

Zuerst stellen wir die Intervalle auf. Du hast immer ein Intervall mehr als Ergebnisse.

$I_{1}=(-\infty;0]$

$I_{2}=[0;\infty)$

Danach berechnen wir, ob der Graph auf dem Intervall links oder rechtsgekrümmt ist.

Hierfür suchst du dir eine Zahl auf dem Intervall aus.

$I_{1}$ hier können wir die -1 nehmen und setzen diese in f“(x) ein.

$f''(-1)=6\cdot(-1)=-6 < 0$ das heisst rechts gekrümmt

$I_{2}$ hier können wir die 1 nehmen und setzen diese in f“(x) ein.

$f''(1)=6\cdot1=6 > 0$ das heisst links gekrümmt

Auf dem Intervall $I_{1}=(-\infty;0]$ ist f(x) rechts gekrümmt.

Auf dem Intervall $I_{2}=[0;\infty)$ ist f(x) links gekrümmt.

Vorgehensweise

Zweite Ableitung bilden
$f''(x)=0$
Intervalle aufstellen – du startest immer bei minus Unendlich und endest bei Unendlich, damit hast du immer ein Intervall mehr als Lösungen
Jetzt suchst du dir eine Zahl auf dem Intervall aus und setzt sie in $f''(x)$ ein.
$f''(x)<0$ bedeutet $f(x)$ ist rechts gekrümmt
$f''(x)>0$ bedeutet $f(x)$ ist links gekrümmt

jetzt bist du dran

Berechne das Krümmungsverhalten der Funktion:

$f(x)=x^3-27$

$f(x)=x^2-2x$

$f(x)=5x^4+3x^3$

$f(x)=9x^2-3x-1$

$f(x)=3x^6-3x^4+5x$

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2 comments on “Kurvendiskussion: Krümmungsverhalten”

Linda Hirthammer says:

25. September 2019 at 13:42

Guten Tag,

ich habe bei der 3. Aufgabe bei x= -0.15
raus, also ist es rechtsgekrümmt.
Ist das so richtig?

Liebe Grüße

Antworten
- admin says:
  
  5. Oktober 2019 at 8:26
  
  Bei der Krümmung musst du Intervalle aufstellen und dann eine Zahl auf
  dem Intervall suchen und diese in die 2. Ableitung einsetzen.
  
  Antworten

MathSparks

Mathematiknachhilfe in Böblingen