Kurvendiskussion: Monotonie

Dies ist der 3. Artikel zur Kurvendiskussion

Symmetrie
Nullstellen und Schnittstellen mit der y-Achse
Monotonie
Extrempunkte

Krümmungsverhalten

Wendepunkte

Mit der Monotonie kannst du berechnen, ob eine Funktion monoton steigt oder fällt. Dies berechnest du mit der ersten Ableitung f'(x).

Monotonie

Bedingungen:

f'(x)=0

f'(x)>0 –> monoton steigend

f'(x)<0 --> monoton fallend

Beispiel

$f(x)=x^2$

Erste Ableitung bilden: $f'(x)=2x$

Erste Ableitung muss Null gesetzt werden:

$f'(x)=0$

$2x=0 |:2$

$x=0$

Jetzt wollen wir wissen, ob die Funktion vor bzw. nach dem Punkt monoton fällt oder steigt.

Zuerst stellen wir die Intervalle auf. Du hast immer ein Intervall mehr als Ergebnisse.

$I_{1}=(-\infty;0]$

$I_{2}=[0;\infty)$

Danach berechnen wir, ob der Graph auf dem Intervall steigt oder fällt.

Hierfür suchst du dir eine Zahl auf dem Intervall aus.

$I_{1}$ hier können wir die -1 nehmen und setzen diese in f'(x) ein.

$f'(-1)=2\cdot(-1)=-2 < 0$ das heisst Monoton fallend

$I_{2}$ hier können wir die 1 nehmen und setzen diese in f'(x) ein.

$f'(1)=2\cdot1=2 > 0$ das heisst Monoton steigend

Auf dem Intervall $I_{1}=(-\infty;0]$ ist f(x) monoton fallend.

Auf dem Intervall $I_{2}=[0;\infty)$ ist f(x) monoton steigend.

Vorgehensweise

Erste Ableitung bilden

$f'(x)=0$

Intervalle aufstellen – du startest immer bei minus Unendlich und endest bei Unendlich, damit hast du immer ein Intervall mehr als Lösungen

Jetzt suchst du dir eine Zahl auf dem Intervall aus und setzt sie in $f'(x)$ ein.

$f'(x)<0$ bedeutet $f(x)$ ist monoton fallend

$f'(x)>0$ bedeutet $f(x)$ ist monoton steigend

jetzt bist du dran

Berechne die Monotonie der Funktion:

$f(x)=x^3-27$

$f(x)=x^2-2x$

$f(x)=5x^2$

$f(x)=9x^2-3x-1$

$f(x)=3x^2-3$

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Aufgaben zur Monotonie, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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