Kurvendiskussion: Symmetrie

Dies ist der 1. Artikel zur Kurvendiskussion

Symmetrie
Nullstellen und Schnittstellen mit der y-Achse
Monotonie
Extrempunkte

Krümmungsverhalten

Wendepunkte

Eine Funktion kann achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein oder keine Symmetrie aufweisen.

Dies kannst du durch anschauen der Hochzahlen oder rechnerisch bestimmen.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Eine Funktion, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist weist nur gerade Hochzahlen auf und kann eine Zahl/Konstante am Ende stehen haben. Diese schiebt die Funktion nach oben oder unten.

Achsensymmetrie

Bedingung:

f(x)=f(-x)

$f(x)=3x^4-x^2+8$
Diese Funktion hat nur gerade Hochzahlen, d.h. sie ist achsensymmetrisch.
Rechnerischer Nachweis:
Du berechnest dir $f(-x)$ und zeigst dann, dass dies das gleiche ist wie $f(x)$
$f(-x)=3(-x)^4-(-x)^2+8=3x^4-x^2+8=f(x)$
Eine negative Zahl hoch eine gerade Hochzahl wird IMMER positiv.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist weist nur ungerade Hochzahlen auf und darf keine Zahl/Konstante am Ende stehen haben. Diese schiebt die Funktion nach oben oder unten und somit geht sie nicht mehr durch den Ursprung.

Punktsymmetrie

Bedingung:

f(x)=-f(-x)

$f(x)=5x^5+2x$
Diese Funktion hat nur ungerade Hochzahlen, d.h. sie ist punktsymmetrisch.
Rechnerischer Nachweis:
$-f(-x)=-(5(-x)^5+2(-x))=-(-5x^5-2x)=5x^5+2x=f(x)$
Eine negative Zahl hoch eine ungerade Hochzahl bleibt negativ.
Wenn du eine Minusklammer auflöst, drehen sich alle Vorzeichen um.

keine Symmetrie

Eine Funktion, die keine Symmetrie aufweist, weist sowohl gerade als auch ungerade Hochzahlen auf.

Keine Symmetrie

Bedingung:

$f(x)\neq f(-x)$

$f(x)\neq-f(-x)$

$f(x)=3x^4-2x^2+x$
Diese Funktion hat gerade und ungerade Hochzahlen, d.h. sie weist keine Symmetrie auf.
Rechnerischer Nachweis:
Achsensymmetrie:
$f(-x)=3(-x)^4-2(-x)^2-x=3x^4-2x^2-x \neq f(x)$
Punktsymmetrie:
$-f(-x)=-(3(-x)^4-2(-x)^2-x)=-(3x^4-2x^2-x)=-3x^4+2x^2+x \neq f(x)$
Keine Symmetrie, da beide Aussagen nicht wahr sind.

jetzt bist du dran

$f(x)=9x^{10}-8x^8+3x^6-7$

$f(x)=100x^5-10x^3+x$

$f(x)=2x^{18}-5x^9$

$f(x)=4x^9-6x^7+5$

$f(x)=2x^{22}-5x^8+5x^2$

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