15. Januar 2016  |    4 Comments

Das ist der sechste Beitrag aus der Reihe über Gleichungen:

  1. Gleichungen ersten Grades
  2. Gleichungen zweiten Grades
  3. Gleichungen dritten Grades
  4. Gleichungen vierten Grades
  5. Exponentialgleichungen
  6. Trigonometrische Gleichungen
  7. Bruchgleichungen
Definition
Trigonometrische Gleichung
Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte x als sin(x) oder cos(x) vorkommt.

Es gibt verschiedene Arten von Trigonometischen Gleichungen. Ich möchte dir einige Beispiele aufzeigen und die Schritte, die zum Lösen nötig sind.

sin(x) oder cos(x) und Zahl

sin(x)=1 I=[0; 4\pi]
x_{1}=\frac{\pi}{2}; x_{2}=\frac{5\pi}{2}
L=\{\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}}\}

Erklärung:

  1. Durch Überlegung wann der sin(x) auf dem gegebenen Intervall 1 wird.

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur sin(x) oder cos(x) und eine Zahl.
  • lösbar durch Überlegung und Kennen der sinus- bzw. cosinus-Kurve.
  • siehe unten – bitte auswendig lernen

Substitution

sin(2x)=1 I=[0; 4\pi]
Substitution: 2x=u
sin(u)=1
u_{1}=\frac{\pi}{2}; u_{2}=\frac{5\pi}{2}; u_{3}=\frac{9\pi}{2}; u_{4}=\frac{13\pi}{2}
Resubstitution:
\frac{\pi}{2}=2x|:2
x_{1}=\frac{\pi}{4}
\frac{5\pi}{2}=2x|:2
x_{1}=\frac{5\pi}{4}
\frac{9\pi}{2}=2x|:2
x_{3}=\frac{9\pi}{4}
\frac{13\pi}{2}=2x|:2
x_{4}=\frac{13\pi}{4}
L=\{\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{9\pi}{4};\frac{13\pi}{4}\}

Erklärung:

  1. Die Klammer des sinus bzw cosinus wird durch u substituiert.
  2. Durch Überlegung wann der sin(u) auf dem gegebenen Intervall 1 wird.
  3. Resubstitution: Du setzt deine Ergebnisse mit dem aus der Klammer gleich und löst nach x auf.

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur sin(ax) oder cos(ax) und eine Zahl
  • lösbar durch Substitution
  • siehe unten – bitte auswendig lernen

ausklammern

cos(x)^2-cos(x)=0 | ausklammern Intervall: 0 \le x<2\pi
cos(x)\cdot(cos(x)-1)=0
cos(x)=0
x_{1}=\frac{\pi}{2};x_{2}=\frac{3\pi}{2}; x_{3}=\frac{5\pi}{2}
x_{3}=\frac{5\pi}{2} ist nicht mehr im Intervall
cos(x)-1=0|+1
x_{4}=0; x_{5}=2 \pi
x_{5}=2 \pi ist nicht im Intervall
L=\{0; \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\}

Erklärung:

  1. Du klammerst sin(x) bzw.cos(x) aus und wendest dann den Satz vom Nullprodukt an, d.h. du teilst es auf und setzt beide Teile getrennt Null.
  2. 1. Teil: Durch Überlegung wann der cos(x) auf dem gegebenen Intervall 0 wird.
  3. Bei dem 2. Teil bringst du die Zahl durch plus bzw. minus nach rechts und überlegst, dann wann der cos(x) auf dem gegebenen Intervall 1 wird.

Wichtig

  • Bei dieser Art von Gleichung gibt es nur sin(x) oder cos(x)
  • lösbar durch ausklammern
  • Intervall beachten
  • siehe unten – bitte auswendig lernen

Bitte auswendig lernen

  • sin(0)=0
  • sin(\frac{\pi}{2})=1
  • sin(\pi)=0
  • sin(\frac{3\pi}{2})=-1
  • sin(2\pi})=0
  • … periodisch
  • cos(0)=1
  • cos(\frac{\pi}{2})=0
  • cos(\pi)=-1
  • cos(\frac{3\pi}{2})=0
  • cos(2\pi})=1
  • … periodisch

Kennst du Trigonometrische Gleichungen, die du nicht lösen kannst oder bei denen du Schwierigkeiten beim Lösen hast? Schreib sie mir doch in den Kommentar. Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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4 comments on “Trigonometrische Gleichungen”

  • Beim der Substitution muss auch das Intervall angepasst werden. Im Beispiel muss das Intervall zu [0, 8pi] geändert werden. Ansonsten findet man durch das Vorgehen nicht alle Lösungen. Im Beispiel wurden deshalb auch nicht alle Lösungen gefunden. Wenn man sich sin(2x) zeichnet, sieht man sofort, dass es auf [0,4pi] noch mehr Lösungen gibt.

    Beste Grüße T.

    Antworten

    • Im Unterricht wird immer ein Intervall angegeben und nur diese Lösungen dürfen angegeben werden. Daher habe ich meine Aufgaben auch so gestaltet.

      Antworten

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