Ableitungen: Kettenregel

Das ist der fünfte Beitrag aus der Reihe über Ableitungen:

Die Ableitung $f'(x)$ ist die Steigung der Funktion $f(x)$ auch mit m bezeichnet. Damit kannst du ausrechnen wie die Steigung generell oder an einem bestimmten Punkt einer Funktion ist.

Kettenregel

$f(x)=u(v(x))$

$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$

Ganzrationale Funktion

$f(x)=(3x+7)^4$

äußere Funktion: $u(v)=v^4$

äußere Ableitung: $u'(v)=4v^3$

innere Funktion: $v(x)=3x+7$

innere Ableitung: $v'(x)=3$

$f'(x)=4(3x+7)^3 \cdot 3$

$=12(3x+7)^3$

Vorgehensweise

entweder überlegst du dir was die innere und die äußere Funktion ist und leitest beide ab und setzt es nach $f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$ zusammen
ODER du merkst dir folgendes:
Hochzahl nach vorne
Klammer abschreiben
Hochzahl MINUS 1
hinter die Klammer: „Mal“ die Ableitung der Klammer – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
vereinfachen

Trigonometrische Funktion

$f(x)=sin(5x^2+4)$

äußere Funktion: $u(v)=sin(v)$

äußere Ableitung: $u'(v)=cos(v)$

innere Funktion: $v(x)=5x^2+4$

innere Ableitung: $v'(x)=10x$

$f'(x)=cos(5x^2+4) \cdot 10x$

Vorgehensweise

entweder überlegst du dir was die innere und die äußere Funktion ist und leitest beide ab und setzt es nach $f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$ zusammen
ODER du merkst dir folgendes:
sin bzw. cos ableiten – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
Klammer abschreiben
hinter die Klammer: „Mal“ die Ableitung der Klammer – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
vereinfachen

Exponential Funktion

$f(x)=5e^{3x^2+2}$

äußere Funktion: $u(v)=5e^v$

äußere Ableitung: $u'(v)=5e^v$

innere Funktion: $v(x)=3x^2+2$

innere Ableitung: $v'(x)=6x$

$f'(x)=5e^{3x^2+2} \cdot 6x$

$f'(x)=30x \cdot e^{3x^2+2}$

Vorgehensweise

entweder überlegst du dir was die innere und die äußere Funktion ist und leitest beide ab und setzt es nach $f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$ zusammen
ODER du merkst dir folgendes:
e hoch die Hochzahl bleibt gleich – es verändert sich NICHTS
„Mal“ die Ableitung der Hochzahl – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
vereinfachen

Wurzel Funktion

$f(x)=\sqrt{12x-3}=(12x-3)^{\frac{1}{2}}$

äußere Funktion: $u(v)=\sqrt{v}=v^{\frac{1}{2}}$

äußere Ableitung: $u'(v)=\frac{1}{2}v^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{v}}$

innere Funktion: $v(x)=12x-3$

innere Ableitung: $v'(x)=12$

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{12x-3}} \cdot 12$

$f'(x)=\frac{12}{2\sqrt{12x-3}}$

Vorgehensweise

entweder überlegst du dir was die innere und die äußere Funktion ist und leitest beide ab und setzt es nach $f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$ zusammen
ODER du merkst dir folgendes:
Wurzel umschreiben (mit Hochzahl $\frac{1}{2}$
Hochzahl nach vorne
Klammer abschreiben
Hochzahl MINUS 1
hinter die Klammer: „Mal“ die Ableitung der Klammer – ableiten nach der Potenz- und Faktorregel
vereinfachen

Anwendung

Klammern mit Hochzahl
sin/cos, bei denen in der Klammer mehr steht als nur x
e mit mehr als x in der Hochzahl
Wurzeln

jetzt bist du dran

$f(x)=e^{24x^3-4}$

$f(x)=(15x^3+x)^6$

$f(x)=\sqrt{4-x^2}$

$f(x)=cos(5x-3x^2)$

Du kannst mir deine Lösungen gerne per E-Mail schicken oder sie in den Kommentar schreiben. Kennst du andere Ableitungen, die du nicht lösen kannst? Gerne helfe ich dir auch über meine Online Nachhilfe oder meine Mathematik Nachhilfe vor Ort.

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2 comments on “Ableitungen: Kettenregel”

Lindner Franz says:

15. November 2017 at 14:13

f(x)= e^24x^3-4
f´(x)=e^24x^3-4 x72x²
f´(x)=72x² x e^24x^3 -4

f(x)=(15x³+x)^6
f´(x)=6(15^3+x)^5 x 45x²+1

f(x)= sqr4-x²
f´(x)= (4-x²)^1\2
f´(x)=1\2(4-x²)^-1\2
f´(x)= 1\2sqr4-x² x(-2x)
f´(x)= -2x\2sqr4-x²

f(x)= cos(5x-3x²)
f´(x)= -sin(5x-3x²) x 5-6x

Antworten
- admin says:
  
  19. November 2017 at 13:18
  
  Bei der 2. und 4. die innere Ableitung in Klammer setzen.
  Ansonsten stimmt es – es ist nur schwer das mathematische ohne LaTex darzustellen.
  
  Antworten

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Ableitungen: Kettenregel

Ganzrationale Funktion

Vorgehensweise

Trigonometrische Funktion

Vorgehensweise

Exponential Funktion

Vorgehensweise

Wurzel Funktion

Vorgehensweise

Anwendung

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